☛ Déterminer l'unique primitive définie par une condition initiale donnée

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2-x){\text{e}}^x$ . On admet que $f$ est dérivable sur   $\mathbb{R}$ .

1. Démontrer que la fonction $F$ définie sur   $\mathbb{R}$   par $F(x)=(3-x){\text{e}}^x$ est une primitive de $f$ sur   $\mathbb{R}$ .

2. En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur   $\mathbb{R}$ .

3. Déterminer l'unique primitive  $G$ de $f$ dont la courbe représentative passe par le point $\text{A}(0;2)$ .

Solution

1.  $F$  est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel  $x$ , on a
$F^{\prime }(x)=-1{\text{e}}^x+(3-x){\text{e}}^x={\text{e}}^x(-1+3-x)={\text{e}}^x(2-x)=f(x)$ .
Donc  $F$ est une primitive de $f$ sur   $\mathbb{R}$   .

2. Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$   sont les fonctions  de la forme $x\mapsto (3-x){\text{e}}^x+C$ avec $C\in \mathbb{R}$ .

3.  $G(0)=2\iff 3+C=2\iff C=-1$ . 
D'où la primitive cherchée est définie par    $G(x)=(3-x){\text{e}}^x-1$ .