☛ Déterminer l'unique primitive définie par une condition initiale donnée

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(2-x)\text e^x\) . On admet que \(f\) est dérivable sur   \(\mathbb R\) .

1. Démontrer que la fonction \(F\) définie sur   \(\mathbb R\)   par \(F(x)=(3-x)\text e^x\) est une primitive de \(f\) sur   \(\mathbb R\) .

2. En déduire l'ensemble des primitives de \(f\) sur   \(\mathbb R\) .

3. Déterminer l'unique primitive  \(G\) de \(f\) dont la courbe représentative passe par le point \(\text A(0~;~2)\) .

Solution

1.  `F`  est dérivable sur `\mathbb{R}` et pour tout réel  \(x\) , on a
\(F'(x)=-1\text e^x+(3-x)\text e^x=\text e^x(-1+3-x)=\text e^x(2-x)=f(x)\) .
Donc  \(F\) est une primitive de \(f\) sur   \(\mathbb R\)   .

2. Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\)   sont les fonctions  de la forme \(x \mapsto (3-x)\text e^x+C\) avec \(C\in\mathbb R\) .

3.  \(G(0)=2\Leftrightarrow 3+C=2\Leftrightarrow C=-1\) . 
D'où la primitive cherchée est définie par    \(G(x)=(3-x)\text e^x-1\) .